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自相关性

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自相关又叫做序列相关，通常采用自相关系数来发现序列的重复规律，周期等信息

在分析时间序列时，通常需要计算一个序列的自相关系数。自相关(Autocorrelation)又叫做序列相关，通常采用自相关系数来发现序列的重复规律，周期等信息。

我们有序列\(X:x_1,x_2,x_3,...,x_n\)，设\(X_{s,t}\)为\(s\)时刻开始，\(t\)时刻结束的序列：\(x_s,x_{s+1}...,x_{t-1},x_t\)。\(\mu_{s,t}\)为序列\(X_{s,t}\)的均值，\(\sigma_{s,t}\)为序列\(X_{s,t}\)的标准差。那么一阶自相关系数为：

\[R(1) = \frac{E(X_{2,n}-\mu_{2,n})(X_{1,n-1}-\mu_{1,n-1})}{\sigma_{2,n}\sigma_{1,n-1}}\]

同理\(k\)阶自相关系数为：

\[R(k) = \frac{E(X_{k+1,n}-\mu_{k+1,n})(X_{1,n-k}-\mu_{1,n-k})}{\sigma_{k+1,n}\sigma_{1,n-k}}\]

python的numpy库里没有直接计算序列自相关系数的函数，但有计算两个不同序列的相关系数函数： correlate。给定两个序列\(X,Y\)，correlation(X,Y) = \(\sum XY\)。可以利用correlate函数计算\(X\)的自相关性：

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def autocorrelation(x,lags):#计算lags阶以内的自相关系数，返回lags个值，分别计算序列均值，标准差
	n = len(x)
	x = numpy.array(x)
	result = [numpy.correlate(x[i:]-x[i:].mean(),x[:n-i]-x[:n-i].mean())[0]\
		/(x[i:].std()*x[:n-i].std()*(n-i)) \
		for i in range(1,lags+1)]
	return result

通常在实际中，很多时间序列的均值和标准受时间变化的影响较小，可以看作是恒定的，此时：

\[R(k) = \frac{E(X_{k+1,n}-\mu)(X_{1,n-k}-\mu)}{\sigma^2}\]

同样可以利用correlate函数实现：

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def autocorrelation(x,lags):#计算lags阶以内的自相关系数，返回lags个值，将序列均值、标准差视为不变
	n = len(x)
	x = numpy.array(x)
	variance = x.var()
	x = x-x.mean()
	result = numpy.correlate(x, x, mode = 'full')[-n+1:-n+lags+1]/\
		(variance*(numpy.arange(n-1,n-1-lags,-1)))
	return result
  • http://stackoverflow.com/questions/643699/how-can-i-use-numpy-correlate-to-do-autocorrelation